3649.

274

TEKST ZADATKA

Svotu od 42 000 42\,000 dinara treba podeliti na četiri osobe tako da se iznosi koje dobijaju prvi i drugi odnose kao 2:3, 2 : 3 , drugi i treći kao 4:5, 4 : 5 , a treći i četvrti kao 6:7. 6 : 7 . Koliko će svako od njih dobiti?

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo iznose koje dobijaju prva, druga, treća i četvrta osoba sa x1,x2,x3 x_1, x_2, x_3 i x4. x_4 . Prema uslovu zadatka, imamo sledeće razmere:

x1:x2=2:3x2:x3=4:5x3:x4=6:7\begin{aligned} x_1 : x_2 &= 2 : 3 \\ x_2 : x_3 &= 4 : 5 \\ x_3 : x_4 &= 6 : 7 \end{aligned}

Da bismo objedinili prve dve razmere, potrebno je da izjednačimo delove koji se odnose na drugu osobu (x2 x_2 ). Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 3 3 i 4 4 je 12. 12 . Proširujemo prvu razmeru sa 4, 4 , a drugu sa 3: 3 :

x1:x2=(2⋅4):(3⋅4)=8:12x2:x3=(4⋅3):(5⋅3)=12:15\begin{aligned} x_1 : x_2 &= (2 \cdot 4) : (3 \cdot 4) = 8 : 12 \\ x_2 : x_3 &= (4 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 12 : 15 \end{aligned}

Sada možemo zapisati jedinstvenu razmeru za prve tri osobe:

x1:x2:x3=8:12:15x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15

Zatim, potrebno je da objedinimo ovu novu razmeru sa trećom razmerom (x3:x4=6:7 x_3 : x_4 = 6 : 7 ). Izjednačavamo delove koji se odnose na treću osobu (x3 x_3 ). Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 15 15 i 6 6 je 30. 30 . Proširujemo prvu razmeru sa 2, 2 , a drugu sa 5: 5 :

x1:x2:x3=(8⋅2):(12⋅2):(15⋅2)=16:24:30x3:x4=(6⋅5):(7⋅5)=30:35\begin{aligned} x_1 : x_2 : x_3 &= (8 \cdot 2) : (12 \cdot 2) : (15 \cdot 2) = 16 : 24 : 30 \\ x_3 : x_4 &= (6 \cdot 5) : (7 \cdot 5) = 30 : 35 \end{aligned}

Sada imamo jedinstvenu produženu razmeru za sve četiri osobe:

x1:x2:x3:x4=16:24:30:35x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 16 : 24 : 30 : 35

Uvodimo koeficijent proporcionalnosti k. k . Iznosi koje svaka osoba dobija su:

x1=16kx2=24kx3=30kx4=35k\begin{aligned} x_1 &= 16k \\ x_2 &= 24k \\ x_3 &= 30k \\ x_4 &= 35k \end{aligned}

Ukupna svota novca je 42 000 42\,000 dinara, pa je zbir svih iznosa jednak tom broju:

16k+24k+30k+35k=42 00016k + 24k + 30k + 35k = 42\,000

Sabiramo koeficijente uz k k i rešavamo jednačinu:

105k=42 000k=42 000105k=400\begin{aligned} 105k &= 42\,000 \\ k &= \frac{42\,000}{105} \\ k &= 400 \end{aligned}

Sada računamo iznos koji dobija svaka osoba množenjem odgovarajućeg dela sa koeficijentom k: k :

x1=16⋅400=6 400x2=24⋅400=9 600x3=30⋅400=12 000x4=35⋅400=14 000\begin{aligned} x_1 &= 16 \cdot 400 = 6\,400 \\ x_2 &= 24 \cdot 400 = 9\,600 \\ x_3 &= 30 \cdot 400 = 12\,000 \\ x_4 &= 35 \cdot 400 = 14\,000 \end{aligned}

Prva osoba će dobiti 6 400 6\,400 dinara, druga 9 600 9\,600 dinara, treća 12 000 12\,000 dinara, a četvrta 14 000 14\,000 dinara.