3669.

285

TEKST ZADATKA

U kom odnosu treba pomešati tri vrste alkohola čije su jačine 30%, 30\% , 50% 50\% i 65%, 65\% , da bi se dobila mešavina jačine 45% 45\% alkohola (naći bar jedno rešenje)?

REŠENJE ZADATKA

Neka su količine alkohola koje mešamo redom x, x , y y i z. z .

Ukupna količina čistog alkohola u pojedinačnim rastvorima mora biti jednaka količini čistog alkohola u dobijenoj mešavini. Postavljamo jednačinu:

0.30x+0.50y+0.65z=0.45(x+y+z)0.30x + 0.50y + 0.65z = 0.45(x + y + z)

Pomnožimo celu jednačinu sa 100 100 kako bismo se oslobodili decimala.

30x+50y+65z=45(x+y+z)30x + 50y + 65z = 45(x + y + z)

Oslobodimo se zagrade na desnoj strani jednačine.

30x+50y+65z=45x+45y+45z30x + 50y + 65z = 45x + 45y + 45z

Grupišemo članove uz promenljivu x x na desnu stranu, a članove uz y y i z z na levu stranu.

50y−45y+65z−45z=45x−30x50y - 45y + 65z - 45z = 45x - 30x

Sredimo izraz.

5y+20z=15x5y + 20z = 15x

Podelimo celu jednačinu sa 5. 5 .

y+4z=3xy + 4z = 3x

Pošto imamo jednu jednačinu sa tri nepoznate, a traži se samo odnos (odnosno bar jedno rešenje), možemo izabrati proizvoljne pozitivne vrednosti za dve promenljive tako da i treća bude pozitivna.

Neka je, na primer, y=2 y = 2 i z=1. z = 1 . Zamenom u jednačinu računamo x. x .

2+4⋅1=3x⇒3x=6⇒x=22 + 4 \cdot 1 = 3x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2

Dobili smo vrednosti x=2, x = 2 , y=2 y = 2 i z=1. z = 1 .

Dakle, jedan od mogućih odnosa u kom treba pomešati ove tri vrste alkohola je:

x:y:z=2:2:1x : y : z = 2 : 2 : 1