2110.

632.a

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: ctg5π3. \text{ctg} \frac{5\pi}{3} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo argument 5π3 \frac{5\pi}{3} svesti na oblik koji nam omogućava korišćenje periodičnosti ili svođenje na prvi kvadrant. Primetimo da je:

5π3=2π−π3\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}

Koristimo osobinu periodičnosti kotangensa, gde je osnovni period π, \pi , ili direktno formulu za svođenje na četvrti kvadrant ctg(2π−α)=−ctgα: \text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg} \alpha :

ctg(2π−π3)=−ctgπ3\text{ctg} \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\text{ctg} \frac{\pi}{3}

Znamo da je vrednost kotangensa za ugao od π3 \frac{\pi}{3} (odnosno 60 stepeni) jednaka:

ctgπ3=33\text{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Konačno, uvrštavamo vrednost u izraz:

ctg5π3=−33\text{ctg} \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}