2893.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti rešenja jednačine cos⁡2x+cos⁡8x−cos⁡6x=1, \cos 2x + \cos 8x - \cos 6x = 1 , koja pripadaju intervalu [0,π2]. \left[0, \frac{\pi}{2}\right] .

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine:

cos⁡2x+cos⁡8x−cos⁡6x−1=0\cos 2x + \cos 8x - \cos 6x - 1 = 0

Grupišemo članove kako bismo primenili trigonometrijske identitete:

(cos⁡2x−1)+(cos⁡8x−cos⁡6x)=0(\cos 2x - 1) + (\cos 8x - \cos 6x) = 0

Koristimo identitet 1−cos⁡2x=2sin⁡2x 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x i transformaciju razlike kosinusa u proizvod cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2: \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} :

cos⁡2x−1=−2sin⁡2xcos⁡8x−cos⁡6x=−2sin⁡(8x+6x2)sin⁡(8x−6x2)=−2sin⁡7xsin⁡x\begin{aligned} \cos 2x - 1 &= -2\sin^2 x \\ \cos 8x - \cos 6x &= -2\sin\left(\frac{8x+6x}{2}\right)\sin\left(\frac{8x-6x}{2}\right) = -2\sin 7x \sin x \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u jednačinu:

−2sin⁡2x−2sin⁡7xsin⁡x=0-2\sin^2 x - 2\sin 7x \sin x = 0

Delimo jednačinu sa −2 -2 i izvlačimo zajednički faktor sin⁡x \sin x ispred zagrade:

sin⁡x(sin⁡x+sin⁡7x)=0\sin x (\sin x + \sin 7x) = 0

Primenjujemo formulu za zbir sinusa sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2 \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} na izraz u zagradi:

sin⁡7x+sin⁡x=2sin⁡(7x+x2)cos⁡(7x−x2)=2sin⁡4xcos⁡3x\sin 7x + \sin x = 2\sin\left(\frac{7x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{7x-x}{2}\right) = 2\sin 4x \cos 3x

Zamenjujemo ovo u jednačinu, čime dobijamo proizvod koji je jednak nuli:

2sin⁡xsin⁡4xcos⁡3x=02\sin x \sin 4x \cos 3x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Rešavamo svaki slučaj posebno.

sin⁡x=0∨sin⁡4x=0∨cos⁡3x=0\sin x = 0 \quad \lor \quad \sin 4x = 0 \quad \lor \quad \cos 3x = 0

Prvi slučaj: sin⁡x=0. \sin x = 0 . Za zadati interval [0,π2], \left[0, \frac{\pi}{2}\right] , jedino rešenje je za k=0. k = 0 .

x=kπ  ⟹  x=0x = k\pi \implies x = 0

Drugi slučaj: sin⁡4x=0. \sin 4x = 0 . Tražimo rešenja u intervalu [0,π2] \left[0, \frac{\pi}{2}\right] za celobrojne vrednosti k. k .

4x=kπ  ⟹  x=kπ4  ⟹  x∈{0,π4,π2}4x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{4} \implies x \in \left\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right\}

Treći slučaj: cos⁡3x=0. \cos 3x = 0 . Tražimo rešenja u intervalu [0,π2] \left[0, \frac{\pi}{2}\right] za celobrojne vrednosti k. k .

3x=π2+kπ  ⟹  x=π6+kπ3  ⟹  x∈{π6,π2}3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \implies x \in \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right\}

Konačan skup rešenja dobijamo unijom svih pronađenih rešenja koja pripadaju zadatom intervalu:

x∈{0,π6,π4,π2}x \in \left\{ 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti