4534. Aksiome pripadanja i paralelnost

REŠENJE ZADATKA

Ovaj iskaz nije istinit. Da bismo to pokazali, zamislićemo skicu kocke $ABCDA_1B_1C_1D_1$ i iskoristiti je kao kontraprimer.

Neka je $\alpha$ ravan koja sadrži gornju osnovu kocke, odnosno ravan određena tačkama $A_1 ,$ $B_1 ,$ $C_1$ i $D_1 .$

Posmatrajmo prave $a$ i $b$ koje sadrže ivice donje osnove kocke. Neka prava $a$ sadrži ivicu $AB ,$ a prava $b$ ivicu $BC .$

Prava $a$ je paralelna ravni $\alpha$ jer pripada ravni donje osnove koja je paralelna gornjoj osnovi, pa sa ravni $\alpha$ nema zajedničkih tačaka. Slično, i prava $b$ je paralelna ravni $\alpha .$

\begin{aligned} a &\parallel \alpha \\ b &\parallel \alpha \end{aligned}

Međutim, prave $a$ i $b$ se seku u temenu kocke, tački $B ,$ što znači da one nisu paralelne među sobom.

a \cap b = \{B\} \implies a \nparallel b

Pošto smo pronašli dve prave koje su paralelne istoj ravni, a pritom se seku (nisu paralelne), zaključujemo da je dati iskaz netačan.

330.b