4542. Aksiome pripadanja i paralelnost

REŠENJE ZADATKA

Dati iskaz nije istinit. Da bismo to pokazali, dovoljno je da navedemo jedan kontraprimer.

Neka se dve različite ravni $\alpha$ i $\beta$ seku po pravoj $q .$

\alpha \cap \beta = q

Izaberimo pravu $p$ takvu da je paralelna pravoj $q$ i da ne pripada ni ravni $\alpha$ ni ravni $\beta .$

p \parallel q, \quad p \not\subset \alpha, \quad p \not\subset \beta

Kako prava $p$ ne pripada ravni $\alpha$ i paralelna je pravoj $q$ koja pripada ravni $\alpha ,$ zaključujemo da je prava $p$ paralelna ravni $\alpha .$

p \parallel \alpha

Slično, kako prava $p$ ne pripada ravni $\beta$ i paralelna je pravoj $q$ koja pripada ravni $\beta ,$ zaključujemo da je prava $p$ paralelna i ravni $\beta .$

p \parallel \beta

Dobili smo dve ravni, $\alpha$ i $\beta ,$ koje su obe paralelne pravoj $p .$ Međutim, one se po početnoj pretpostavci seku po pravoj $q ,$ što znači da nisu paralelne među sobom.

Skica u prostoru (model iz svakodnevnog života): Zamislimo prostoriju. Neka je prava $p$ gornja ivica gde se spajaju prednji zid i plafon. Ravan poda je paralelna sa tom ivicom. Ravan zadnjeg zida je takođe paralelna sa tom ivicom. Međutim, pod i zadnji zid se seku (u donjoj ivici zadnjeg zida), pa očigledno nisu paralelni.

330.v