PrethodniSledeći
4541.

323.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da dve prave koje se seku određuju jednu ravan.

REŠENJE ZADATKA

Neka su a a i b b dve prave koje se seku i neka je A A njihova presečna tačka.

a∩b={A}a \cap b = \{A\}

Na osnovu Aksiome 1, svaka prava sadrži najmanje dve različite tačke. Zato možemo izabrati tačku B B na pravoj a a i tačku C C na pravoj b b tako da su različite od tačke A. A .

B∈a,B≠AC∈b,C≠AB \in a, \quad B \neq A \\ C \in b, \quad C \neq A

Tačke A, A , B B i C C su nekolinearne. Ako bi bile kolinearne, pripadale bi istoj pravoj. Pošto A,B∈a A, B \in a i A,C∈b, A, C \in b , to bi značilo da se prave a a i b b poklapaju, što je u suprotnosti sa pretpostavkom da se seku u tačno jednoj tački.

Na osnovu Aksiome 3, svake tri nekolinearne tačke određuju tačno jednu ravan. Neka je α \alpha ravan određena tačkama A, A , B B i C. C .

Kako tačke A A i B B pripadaju ravni α \alpha i pravoj a, a , na osnovu Aksiome 5, cela prava a a pripada ravni α. \alpha . Slično, kako tačke A A i C C pripadaju ravni α \alpha i pravoj b, b , cela prava b b pripada ravni α. \alpha .

a⊂α,b⊂αa \subset \alpha, \quad b \subset \alpha

Da bismo dokazali jedinstvenost, pretpostavimo da postoji još neka ravan β \beta koja sadrži prave a a i b. b . Tada ravan β \beta mora sadržati i tačke A, A , B B i C. C . Međutim, pošto tri nekolinearne tačke određuju tačno jednu ravan, mora biti β=α. \beta = \alpha .

Ovim je dokazano da dve prave koje se seku određuju tačno jednu ravan.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu