4545. Aksiome pripadanja i paralelnost

REŠENJE ZADATKA

Neka je $A$ tačka preseka prave $a$ i ravni $\pi .$ Po definiciji, prava i ravan se seku ako imaju tačno jednu zajedničku tačku.

a \cap \pi = \{A\}

Kako su prave $a$ i $b$ paralelne, one pripadaju jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka. Neka je $\alpha$ ravan određena paralelnim pravama $a$ i $b .$

a \parallel b \implies a, b \subset \alpha

Tačka $A$ pripada pravoj $a ,$ a prava $a$ pripada ravni $\alpha ,$ pa tačka $A$ pripada i ravni $\alpha .$

A \in a \land a \subset \alpha \implies A \in \alpha

Pošto tačka $A$ pripada i ravni $\pi$ i ravni $\alpha ,$ ove dve ravni imaju zajedničku tačku. Prema Aksiomi 6, ako dve različite ravni imaju jednu zajedničku tačku, onda one imaju tačno jednu zajedničku pravu. Neka je to prava $p .$

\alpha \cap \pi = p

Prava $p$ pripada ravni $\alpha ,$ a u toj ravni se nalaze i prave $a$ i $b .$ Prave $a$ i $p$ imaju zajedničku tačku $A .$

A \in a \land A \in p \implies a \cap p = \{A\}

U ravni $\alpha ,$ prava $p$ seče pravu $a .$ Prema aksiomi paralelnosti, ako u ravni jedna prava seče jednu od dve paralelne prave, ona mora seći i drugu. Dakle, prava $p$ seče pravu $b .$ Neka je njihov presek tačka $B .$

b \cap p = \{B\}

Pošto tačka $B$ pripada pravoj $p ,$ a prava $p$ pripada ravni $\pi ,$ sledi da tačka $B$ pripada ravni $\pi .$ Dakle, prava $b$ i ravan $\pi$ imaju zajedničku tačku $B .$

B \in p \land p \subset \pi \implies B \in \pi

Ostaje da pokažemo da je $B$ jedina zajednička tačka prave $b$ i ravni $\pi .$ Pretpostavimo suprotno, da prava $b$ ima bar dve zajedničke tačke sa ravni $\pi .$

Prema Aksiomi 5, ako prava ima dve zajedničke tačke sa ravni, ona cela pripada toj ravni. Tada bi važilo da je prava $b$ podskup ravni $\pi .$

b \subset \pi

Ako bi $b \subset \pi ,$ pošto $b \subset \alpha ,$ prava $b$ bi pripadala preseku ravni $\alpha$ i $\pi .$ Kako je presek ove dve ravni prava $p ,$ sledilo bi da se prave $b$ i $p$ poklapaju.

b = p

Međutim, prava $a$ seče pravu $p$ u tački $A ,$ što bi značilo da prava $a$ seče pravu $b .$ Ovo je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom da su prave $a$ i $b$ paralelne.

a \cap b = \{A\} \quad \text{(kontradikcija)}

Zbog dobijene kontradikcije, pretpostavka da prava $b$ ima više od jedne zajedničke tačke sa ravni $\pi$ je netačna. Zaključujemo da prava $b$ seče ravan $\pi$ u tačno jednoj tački, čime je dokaz završen.

339