PrethodniSledeći
4549.

335

TEKST ZADATKA

Ako su α \alpha i β \beta dve paralelne ravni, tada je svaka prava a a ravni α \alpha paralelna sa ravni β. \beta . Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Neka su date dve paralelne ravni α \alpha i β \beta i neka prava a a pripada ravni α. \alpha .

α∥β,a⊂α\alpha \parallel \beta, \quad a \subset \alpha

Po definiciji, dve ravni su paralelne ako nemaju zajedničkih tačaka. Dakle, presek ravni α \alpha i β \beta je prazan skup.

α∩β=∅\alpha \cap \beta = \emptyset

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost (kontradikciju). Pretpostavimo suprotno: neka prava a a nije paralelna sa ravni β. \beta .

Ako prava a a nije paralelna sa ravni β, \beta , to znači da ona prodire ravan β, \beta , odnosno da prava a a i ravan β \beta imaju tačno jednu zajedničku tačku. Neka je to tačka P. P .

a∩β={P}a \cap \beta = \{ P \}

Iz ovoga sledi da tačka P P pripada pravoj a a i tačka P P pripada ravni β. \beta .

P∈aiP∈βP \in a \quad \text{i} \quad P \in \beta

Kako je na početku dato da prava a a pripada ravni α, \alpha , svaka tačka prave a a ujedno pripada i ravni α. \alpha .

a⊂α  ⟹  P∈αa \subset \alpha \implies P \in \alpha

Zaključujemo da tačka P P pripada i ravni α \alpha i ravni β, \beta , što znači da je P P njihova zajednička tačka.

P∈α∩βP \in \alpha \cap \beta

Međutim, ovo je u direktnoj kontradikciji sa početnim uslovom da su ravni α \alpha i β \beta paralelne, odnosno da nemaju zajedničkih tačaka.

α∩β=∅\alpha \cap \beta = \emptyset

Pošto nas je pretpostavka da prava a a nije paralelna sa ravni β \beta dovela do kontradikcije, zaključujemo da ta pretpostavka nije tačna. Dakle, prava a a mora biti paralelna sa ravni β. \beta . Time je dokaz završen.

a∥βa \parallel \beta

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu