334

Neka prava $m$ seče pravu $a$ u tački $A_1$ i pravu $b$ u tački $B_1 .$ Neka prava $n$ seče pravu $a$ u tački $A_2$ i pravu $b$ u tački $B_2 .$

Pošto su prave $m$ i $n$ različite i obe sadrže tačku $M ,$ one se seku u tački $M .$ Dve prave koje se seku određuju jedinstvenu ravan, neka je to ravan $\alpha .$

Tačke $A_1$ i $A_2$ pripadaju pravama $m$ i $n$ redom, što znači da obe tačke pripadaju ravni $\alpha .$

Pretpostavimo da je $A_1 = A_2 .$ Tada bi prave $m$ i $n$ imale dve zajedničke tačke, $M$ i $A_1 .$ Kako su $m$ i $n$ različite prave, to je moguće samo ako je $M = A_1 .$

Međutim, pošto $A_1 \in a ,$ to bi značilo da $M \in a ,$ što je u suprotnosti sa uslovom zadatka da je tačka $M$ van pravih $a$ i $b .$ Zato mora biti $A_1 \neq A_2 .$

Prava $a$ sadrži dve različite tačke $A_1$ i $A_2$ koje pripadaju ravni $\alpha .$ Na osnovu Aksiome 5, svaka prava koja sa nekom ravni ima zajedničke dve različite tačke, pripada toj ravni. Dakle, prava $a$ pripada ravni $\alpha .$

Sličnim rezonovanjem, tačke $B_1$ i $B_2$ pripadaju pravama $m$ i $n$ redom, pa pripadaju i ravni $\alpha .$

Ako bi bilo $B_1 = B_2 ,$ prave $m$ i $n$ bi se sekle u tački $B_1 ,$ pa bi moralo biti $M = B_1 .$ To bi značilo da $M \in b ,$ što je nemoguće. Dakle, $B_1 \neq B_2 .$

Prava $b$ sadrži dve različite tačke $B_1$ i $B_2$ ravni $\alpha ,$ pa na osnovu Aksiome 5 i ona pripada ravni $\alpha .$

Zaključujemo da obe prave $a$ i $b$ pripadaju istoj ravni $\alpha ,$ čime je tvrđenje dokazano.