PrethodniSledeći
4551.

333

TEKST ZADATKA

Ako za tri ravni α, \alpha , β, \beta , γ \gamma ne postoji zajednička prava, tada te tri ravni imaju najviše jednu zajedničku tačku. Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz sprovodimo svođenjem na kontradikciju. Pretpostavimo suprotno: tri ravni α, \alpha , β \beta i γ \gamma nemaju zajedničku pravu, ali imaju više od jedne zajedničke tačke.

Neka su A A i B B dve različite zajedničke tačke za ove tri ravni. To znači da važi:

A,B∈α,A,B∈β,A,B∈γA, B \in \alpha, \quad A, B \in \beta, \quad A, B \in \gamma

Prema Aksiomi 2, svake dve različite tačke određuju jednu pravu. Neka tačke A A i B B određuju pravu p. p .

Prema Aksiomi 5, svaka prava koja sa nekom ravni ima zajedničke dve različite tačke, pripada toj ravni.

Pošto prava p p sadrži tačke A A i B B koje pripadaju ravni α, \alpha , sledi da prava p p pripada ravni α. \alpha . Slično, pošto A A i B B pripadaju ravni β, \beta , prava p p pripada i ravni β. \beta . Isti zaključak važi i za ravan γ. \gamma .

p⊂α,p⊂β,p⊂γp \subset \alpha, \quad p \subset \beta, \quad p \subset \gamma

Iz ovoga sledi da je prava p p zajednička prava za sve tri ravni α, \alpha , β \beta i γ. \gamma .

Ovo je u direktnoj suprotnosti sa početnom pretpostavkom da ravni α, \alpha , β \beta i γ \gamma nemaju zajedničku pravu.

Zbog dobijene kontradikcije, zaključujemo da naša pretpostavka nije tačna. Dakle, ove tri ravni mogu imati najviše jednu zajedničku tačku, čime je dokaz završen.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu