PrethodniSledeći
4556.

332

TEKST ZADATKA

Data je prava p p i van nje tačka A. A . Dokazati da sve prave koje sadrže tačku A A i seku pravu p p pripadaju jednoj ravni.

REŠENJE ZADATKA

Neka je data prava p p i tačka A A koja ne pripada pravoj p. p . Prema Aksiomi 1, prava p p sadrži najmanje dve različite tačke. Obeležimo ih sa B B i C. C .

Pošto tačka A A ne pripada pravoj p, p , tačke A, A , B B i C C su nekolinearne.

Prema Aksiomi 3, svake tri nekolinearne tačke određuju tačno jednu ravan. Neka je to ravan α. \alpha . Dakle, prava p p i tačka A A pripadaju ravni α. \alpha .

Neka je q q proizvoljna prava koja sadrži tačku A A i seče pravu p. p .

Obeležimo presečnu tačku pravih p p i q q sa X. X . Pošto se prave seku, tačka X X je jedinstvena.

p∩q={X}p \cap q = \{X\}

Kako tačka X X pripada pravoj p, p , a prava p p u celosti pripada ravni α, \alpha , sledi da i tačka X X pripada ravni α. \alpha .

X∈p∧p⊂α  ⟹  X∈αX \in p \land p \subset \alpha \implies X \in \alpha

Tačka A A takođe pripada ravni α \alpha na osnovu načina na koji smo definisali ravan α. \alpha .

A∈αA \in \alpha

Pošto tačka A A ne pripada pravoj p, p , a tačka X X pripada pravoj p, p , tačke A A i X X su dve različite tačke.

A≠XA \neq X

Prava q q sadrži dve različite tačke, A A i X, X , koje obe pripadaju ravni α. \alpha .

A∈q,X∈qA \in q, X \in q

Prema Aksiomi 5, svaka prava koja sa nekom ravni ima zajedničke dve različite tačke, pripada toj ravni.

Na osnovu toga zaključujemo da prava q q u celosti pripada ravni α. \alpha .

q⊂αq \subset \alpha

Pošto je q q bila proizvoljna prava koja ispunjava date uslove, dokazali smo da sve prave koje sadrže tačku A A i seku pravu p p pripadaju jednoj istoj ravni α. \alpha .

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu