PrethodniSledeći
761.

−7+24i \sqrt{-7+24i}

TEKST ZADATKA

Izračunati

−7+24i\sqrt{-7+24i}
REŠENJE ZADATKA

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je −7+24i=x+iy,\sqrt{-7+24i}=x+iy, gde su xx i yy realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

−7+24i=x+iy−7+24i=(x+iy)2−7+24i=x2+2xyi+i2y2\sqrt{-7+24i}=x+iy \\ -7+24i=(x+iy)^2 \\ -7+24i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je i2=−1i^2=-1 dobija se:

−7+24i=x2+2xyi−y2-7+24i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x2−y2=−72xy=24 x^2-y^2=-7 \\ 2xy=24

Iz druge jednačine izraziti y.y.

2xy=24  ⟹  y=12x 2xy=24\implies y=\frac{12}x

Uvrstiti y=12xy=\frac{12}{x} u prvu jednačinu.

x2−(12x)2=−7x2−144x2=−7x4+7x2−144=0x^2-\bigg(\frac{12}{x}\bigg)^2=-7 \\ x^2-\frac{144}{x^2}=-7 \\ x^4+7x^2-144=0

Uvesti smenu t=x2.t=x^2.

t2+7t−144=0t^2+7t-144=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=7b=7 i c=−144c=-144

t1,2=−7±72−4⋅1⋅(−144)2⋅1t1,2=−7±49+5762t1,2=−7±252t1=−16∨t2=9t_{1,2} = \frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot (-144)}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{-7\pm\sqrt{49+576}}{2}\\ t_{1,2} = \frac{-7\pm25}{2} \\ t_1=-16 \quad\lor\quad t_2=9

Kako je t=x2t=x^2 ne može biti negativno, rešenje t1=−16t_1=-16 se odbacuje.

Za t2=9t_2=9 rešenja za xx su:

x1=3∨x2=−3x_1=3 \quad\lor\quad x_2=-3

Rešenja za yy su:

y1=123=4y2=12−3=−4y_1=\frac{12}3=4 \\ y_2=\frac{12}{-3}=-4

Za x1=3x_1=3 i y1=4y_1=4 rešenje je:

−7+24i=3+4i\sqrt{-7+24i}=3+4i

Za x2=−3x_2=-3 i y2=−4y_2=-4 rešenje je:

−7+24i=−3−4i\sqrt{-7+24i}=-3-4i

Dva moguća rešenja su:

3+4i,−3−4i3+4i, \quad -3-4i

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu