760.

(2+i)z2−(5−i)z+2−2i=0(2+i)z^2-(5-i)z+2-2i=0

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(2+i)z2−(5−i)z+2−2i=0(2+i)z^2-(5-i)z+2-2i=0
REŠENJE ZADATKA

Prepoznati kvadratnu jednačinu i primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2+i,a=2+i, b=−(5−i)b=-(5-i) i c=2−2ic=2-2i

z1,2=−(−(5−i))±(−(5−i))2−4⋅(2+i)⋅(2−2i)2⋅(2+i)z1,2=5−i±i2−10i+25−16+16i−8i−82(2+i)z1,2=5−i±i2−2i+12(2+i)z1,2=5−i±(i−1)22(2+i)z_{1,2} = \frac{-(-(5-i))\pm\sqrt{(-(5-i))^2-4\cdot(2+i)\cdot (2-2i)}}{2\cdot (2+i)}\\ z_{1,2} = \frac{5-i\pm\sqrt{i^2-10i+25-16+16i-8i-8}}{2(2+i)}\\ z_{1,2} = \frac{5-i\pm\sqrt{i^2-2i+1}}{2(2+i)} \\ z_{1,2} = \frac{5-i\pm\sqrt{(i-1)^2}}{2(2+i)}

Primeniti definiciju kompleksnog broja i=−1.i=\sqrt{-1}.

z1,2=5−i±(i−1)2(2+i)z1,2=5−i±(i−1)4+2iz1=5−i+i−14+2i∨z2=5−i−i+14+2iz1=45−25i∨z2=1−iz_{1,2} = \frac{5-i\pm(i-1)}{2(2+i)} \\ z_{1,2} = \frac{5-i\pm(i-1)}{4+2i} \\ z_1= \frac{5-i+i-1}{4+2i} \quad \lor \quad z_2= \frac{5-i-i+1}{4+2i} \\ z_1=\frac45-\frac25i \quad \lor \quad z_2=1-i