3617. Direktna i obrnuta proporcionalnost

TEKST ZADATKA

Koliko časova dnevno treba da rade $16$ radnika da bi za $15$ dana iskopali $3600$ tona uglja, ako $24$ radnika za $12$ dana radeći dnevno $7$ časova iskopaju $3780$ tona?

REŠENJE ZADATKA

Postavimo šemu za rešavanje složenog proporcijskog računa. Neka je $x$ nepoznat broj časova dnevno.

\begin{matrix} 24 \text{ radnika} & 12 \text{ dana} & 7 \text{ časova} & 3780 \text{ tona} \\ 16 \text{ radnika} & 15 \text{ dana} & x \text{ časova} & 3600 \text{ tona} \end{matrix}

Analiziramo odnos svake veličine sa nepoznatom veličinom (broj časova), uz pretpostavku da su ostale veličine konstantne: - Broj radnika i broj časova su obrnuto proporcionalni (više radnika zahteva manje časova rada). - Broj dana i broj časova su obrnuto proporcionalni (više dana zahteva manje časova rada dnevno). - Količina uglja i broj časova su direktno proporcionalni (više tona zahteva više časova rada).

Na osnovu analize, postavljamo složenu proporciju. Veličine koje su obrnuto proporcionalne pišemo u obrnutom redosledu, a direktno proporcionalne u istom redosledu u odnosu na nepoznatu.

x : 7 = (24 \cdot 12 \cdot 3600) : (16 \cdot 15 \cdot 3780)

Proizvod spoljašnjih članova proporcije jednak je proizvodu unutrašnjih članova.

x \cdot 16 \cdot 15 \cdot 3780 = 7 \cdot 24 \cdot 12 \cdot 3600

Izražavamo nepoznatu $x .$

x = \frac{7 \cdot 24 \cdot 12 \cdot 3600}{16 \cdot 15 \cdot 3780}

Skraćujemo razlomak kako bismo olakšali računanje. Delimo $24$ i $16$ sa $8 ,$ $12$ i $15$ sa $3 ,$ a $3600$ i $3780$ sa $180 .$

x = \frac{7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 20}{2 \cdot 5 \cdot 21}

Množimo brojeve u brojiocu i imeniocu.

x = \frac{7 \cdot 240}{210}

Skraćujemo $240$ i $210$ sa $30 .$

x = 7 \cdot \frac{8}{7}

Računamo konačnu vrednost za $x .$

x = 8

Radnici treba da rade $8$ časova dnevno da bi ispunili normu.

248