819.

∣z+31−z‾∣=1\big|\frac{z+3}{1-\overline{z}}\big|=1

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve zz za koje važi:

∣z+31−z‾∣=1\bigg|\frac{z+3}{1-\overline{z}}\bigg|=1
REŠENJE ZADATKA

Modul kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy je jednak:

∣z+3∣=∣(x+3)+iy∣=(x+3)2+y2∣1−z‾∣=∣1−(x−iy)∣=∣(1−x)+iy∣=(1−x)2+y2|z+3|=|(x+3)+iy|=\sqrt{(x+3)^2+y^2} \\ |1-\overline{z}|=|1-(x-iy)|=|(1-x)+iy|=\sqrt{(1-x)^2+y^2}

Izraziti sve preko xx i y.y.

(x+3)2+y2=(1−x)2+y2x2+6x+9+y2=1−2x+x2+y28x=−8x=−1\sqrt{(x+3)^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2} \\ x^2+6x+9+y^2=1-2x+x^2+y^2 \\ 8x=-8 \\ x=-1

Uvrstiti xx i yy u izraz z=x+iy.z=x+iy.

z=−1+iyz=-1+iy