4332.

676.v

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu:

4x2−27+16x+4x2+3+2x1+2x−5+2x7+2x−1=0\frac{4x^2-2}{7+16x+4x^2} + \frac{3+2x}{1+2x} - \frac{5+2x}{7+2x} - 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti kvadratni trinom 4x2+16x+7 4x^2+16x+7 na činioce. Rešavamo kvadratnu jednačinu 4x2+16x+7=0 4x^2+16x+7=0 koristeći formulu za nule:

x1,2=−16±162−4⋅4⋅72⋅4=−16±256−1128=−16±128x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 112}}{8} = \frac{-16 \pm 12}{8}

Dobijamo nule x1=−12 x_1 = -\frac{1}{2} i x2=−72. x_2 = -\frac{7}{2} . Na osnovu toga, trinom možemo zapisati kao:

4x2+16x+7=4(x+12)(x+72)=2(x+12)⋅2(x+72)=(2x+1)(2x+7)4x^2+16x+7 = 4(x + \frac{1}{2})(x + \frac{7}{2}) = 2(x + \frac{1}{2}) \cdot 2(x + \frac{7}{2}) = (2x+1)(2x+7)

Sada postavljamo uslove definisanosti jednačine (imenilac ne sme biti nula):

2x+1≠0  ⟹  x≠−12i2x+7≠0  ⟹  x≠−722x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} \quad \text{i} \quad 2x+7 \neq 0 \implies x \neq -\frac{7}{2}

Zamenjujemo rastavljeni oblik u početnu jednačinu:

4x2−2(2x+1)(2x+7)+3+2x1+2x−5+2x7+2x−1=0\frac{4x^2-2}{(2x+1)(2x+7)} + \frac{3+2x}{1+2x} - \frac{5+2x}{7+2x} - 1 = 0

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem (2x+1)(2x+7): (2x+1)(2x+7) :

(4x2−2)+(3+2x)(2x+7)−(5+2x)(2x+1)−(2x+1)(2x+7)=0(4x^2-2) + (3+2x)(2x+7) - (5+2x)(2x+1) - (2x+1)(2x+7) = 0

Sređujemo izraze množenjem zagrada:

(4x2−2)+(6x+21+4x2+14x)−(10x+5+4x2+2x)−(4x2+14x+2x+7)=0(4x^2-2) + (6x+21+4x^2+14x) - (10x+5+4x^2+2x) - (4x^2+14x+2x+7) = 0

Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove:

4x2−2+4x2+20x+21−(4x2+12x+5)−(4x2+16x+7)=04x^2 - 2 + 4x^2 + 20x + 21 - (4x^2 + 12x + 5) - (4x^2 + 16x + 7) = 0

Nastavljamo sa sređivanjem:

8x2+20x+19−4x2−12x−5−4x2−16x−7=08x^2 + 20x + 19 - 4x^2 - 12x - 5 - 4x^2 - 16x - 7 = 0

Sabiramo slične članove:

(8x2−4x2−4x2)+(20x−12x−16x)+(19−5−7)=0(8x^2 - 4x^2 - 4x^2) + (20x - 12x - 16x) + (19 - 5 - 7) = 0

Dobijamo linearnu jednačinu:

−8x+7=0-8x + 7 = 0

Rešavamo po x: x :

−8x=−7  ⟹  x=78-8x = -7 \implies x = \frac{7}{8}

Proveravamo da li rešenje zadovoljava uslove definisanosti. Pošto je 78≠−12 \frac{7}{8} \neq -\frac{1}{2} i 78≠−72, \frac{7}{8} \neq -\frac{7}{2} , rešenje je validno.

x=78x = \frac{7}{8}