4053.

619.g

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

a2(a−2)(a2+2a)b(a4−4a2)\frac{a^2(a-2)(a^2+2a)}{b(a^4-4a^2)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati brojilac i imenilac razlomka kako bismo uočili činioce koji se mogu skratiti. U brojiocu možemo izvući zajednički faktor a a iz izraza (a2+2a). (a^2+2a) .

a2(a−2)(a2+2a)=a2(a−2)⋅a(a+2)=a3(a−2)(a+2)a^2(a-2)(a^2+2a) = a^2(a-2) \cdot a(a+2) = a^3(a-2)(a+2)

Sada ćemo transformisati imenilac. Iz izraza (a4−4a2) (a^4-4a^2) možemo izvući zajednički faktor a2, a^2 , a zatim primeniti formulu za razliku kvadrata.

b(a4−4a2)=b⋅a2(a2−4)=b⋅a2(a−2)(a+2)b(a^4-4a^2) = b \cdot a^2(a^2-4) = b \cdot a^2(a-2)(a+2)

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

b⋅a2(a−2)(a+2)≠0b \cdot a^2(a-2)(a+2) \neq 0

Iz uslova da je imenilac različit od nule, dobijamo sledeća ograničenja za promenljive:

b≠0,a≠0,a≠2,a≠−2b \neq 0, \quad a \neq 0, \quad a \neq 2, \quad a \neq -2

Sada možemo skratiti razlomak koristeći transformisane izraze iz prethodnih koraka.

a3(a−2)(a+2)b⋅a2(a−2)(a+2)\frac{a^3(a-2)(a+2)}{b \cdot a^2(a-2)(a+2)}

Skraćivanjem zajedničkih činilaca a2, a^2 , (a−2) (a-2) i (a+2), (a+2) , dobijamo konačan oblik.

ab\frac{a}{b}

Konačan rezultat sa navedenim uslovima je:

ab,a∈R∖{−2,0,2},b∈R∖{0}\frac{a}{b}, \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\}, \quad b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}