4065.

620.d

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

16−x2x3−64\frac{16-x^2}{x^3-64}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti brojilac i imenilac na činioce. Brojilac 16−x2 16-x^2 prepoznajemo kao razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

16−x2=42−x2=(4−x)(4+x)16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4-x)(4+x)

Imenilac x3−64 x^3-64 prepoznajemo kao razliku kubova a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2). a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) .

x3−64=x3−43=(x−4)(x2+4x+16)x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslov pod kojim je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti nula.

x3−64≠0  ⟹  (x−4)(x2+4x+16)≠0x^3 - 64 \neq 0 \implies (x-4)(x^2 + 4x + 16) \neq 0

Izraz x2+4x+16 x^2 + 4x + 16 je uvek pozitivan jer je diskriminanta D=42−4⋅16=16−64=−48<0, D = 4^2 - 4 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0 , pa je jedini uslov:

x−4≠0  ⟹  x≠4x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4

Sada zamenjujemo rastavljene izraze u početni razlomak. Primetimo da je 4−x=−(x−4). 4-x = -(x-4) .

(4−x)(4+x)(x−4)(x2+4x+16)=−(x−4)(4+x)(x−4)(x2+4x+16)\frac{(4-x)(4+x)}{(x-4)(x^2 + 4x + 16)} = \frac{-(x-4)(4+x)}{(x-4)(x^2 + 4x + 16)}

Skraćivanjem zajedničkog činioca (x−4) (x-4) dobijamo konačan oblik uz navedeni uslov.

−4+xx2+4x+16,x≠4-\frac{4+x}{x^2 + 4x + 16}, \quad x \neq 4