4079.

620.g

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi: x3+1x2+2x+1. \frac{x^3+1}{x^2+2x+1} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju brojioca koristeći formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2). a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) .

x3+1=x3+13=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)

Zatim vršimo faktorizaciju imenioca prepoznavanjem formule za kvadrat binoma a2+2ab+b2=(a+b)2. a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 .

x2+2x+1=(x+1)2x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2

Pre skraćivanja razlomka, moramo odrediti uslov pod kojim je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

(x+1)2≠0  ⟹  x+1≠0  ⟹  x≠−1(x+1)^2 \neq 0 \implies x+1 \neq 0 \implies x \neq -1

Sada zapisujemo razlomak u faktorisanom obliku i vršimo skraćivanje zajedničkog faktora (x+1). (x+1) .

x3+1x2+2x+1=(x+1)(x2−x+1)(x+1)2=x2−x+1x+1\frac{x^3+1}{x^2+2x+1} = \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2-x+1}{x+1}

Konačan rezultat sa navedenim uslovom je:

x2−x+1x+1,x≠−1\frac{x^2-x+1}{x+1}, \quad x \neq -1