2773.

858.e

TEKST ZADATKA

Odrediti period funkcije: f(x)=∣sin⁡x∣. f(x) = |\sin x| .

REŠENJE ZADATKA

Pre rešavanja, definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

∣sin⁡x∣={sin⁡x,za sin⁡x≥0−sin⁡x,za sin⁡x<0|\sin x| = \begin{cases} \sin x, & \text{za } \sin x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{za } \sin x < 0 \end{cases}

Osnovni period funkcije sin⁡x \sin x je T0=2π. T_0 = 2\pi . Da bismo našli period funkcije f(x)=∣sin⁡x∣, f(x) = |\sin x| , proveravamo da li postoji manji pozitivan broj T T za koji važi f(x+T)=f(x). f(x+T) = f(x) .

sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x

Zbog apsolutne vrednosti, negativne vrednosti sinusa postaju pozitivne (grafik se preslikava iznad x-ose). Proveravamo da li je T=π T = \pi period ove funkcije:

f(x+π)=∣sin⁡(x+π)∣f(x + \pi) = |\sin(x + \pi)|

Na osnovu osobina trigonometrijskih funkcija, važi da je sin⁡(x+π)=−sin⁡x. \sin(x + \pi) = -\sin x .

f(x+π)=∣−sin⁡x∣f(x + \pi) = |-\sin x|

Kako za svako realno a a važi ∣−a∣=∣a∣, |-a| = |a| , dobijamo početnu funkciju:

∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣=f(x)|-\sin x| = |\sin x| = f(x)

Pošto je f(x+π)=f(x) f(x + \pi) = f(x) za svako x, x , a ne postoji manji pozitivan broj sa ovom osobinom (jer je rastojanje između susednih nula funkcije π \pi ), zaključujemo da je osnovni period funkcije π. \pi .

T=πT = \pi