4419. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Dijagonale romba se seku pod pravim uglom i polove se. One dele romb na četiri podudarna pravougla trougla čije su katete polovine dijagonala, a hipotenuza je stranica romba $a .$

Računamo dužine kateta pravouglog trougla:

\begin{aligned} x &= \frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm} \\ y &= \frac{d_2}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm} \end{aligned}

Primenom Pitagorine teoreme računamo dužinu hipotenuze, odnosno stranice romba $a :$

\begin{aligned} a^2 &= x^2 + y^2 \\ a^2 &= 8^2 + 6^2 \\ a^2 &= 64 + 36 \\ a^2 &= 100 \\ a &= 10\text{ cm} \end{aligned}

Neka je $\alpha$ ugao koji stranica romba obrazuje sa dijagonalom $d_1 .$ Naspramna kateta ovom uglu je $y = 6\text{ cm} ,$ a nalegla kateta je $x = 8\text{ cm} .$

Primenom definicija trigonometrijskih funkcija oštrog ugla u pravouglom trouglu, dobijamo vrednosti za ugao $\alpha :$

\begin{aligned} \sin \alpha &= \frac{y}{a} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \\ \cos \alpha &= \frac{x}{a} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \\ \text{tg} \alpha &= \frac{y}{x} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \\ \text{ctg} \alpha &= \frac{x}{y} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{aligned}

Neka je $\beta$ ugao koji stranica romba obrazuje sa dijagonalom $d_2 .$ Kako su uglovi $\alpha$ i $\beta$ oštri uglovi pravouglog trougla, oni su komplementarni ( $\alpha + \beta = 90^\circ$ ). Koristeći osobine komplementarnih uglova, dobijamo vrednosti za ugao $\beta :$

\begin{aligned} \sin \beta &= \cos \alpha = \frac{4}{5} \\ \cos \beta &= \sin \alpha = \frac{3}{5} \\ \text{tg} \beta &= \text{ctg} \alpha = \frac{4}{3} \\ \text{ctg} \beta &= \text{tg} \alpha = \frac{3}{4} \end{aligned}

878