4423. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Neka je ivica kocke dužine $a .$ Dijagonala osnove kocke (kvadrata) je $d = a\sqrt{2} ,$ a prostorna dijagonala kocke je $D = a\sqrt{3} .$

Nagibni ugao dijagonale kocke prema osnovi, koji ćemo označiti sa $\alpha ,$ predstavlja ugao između prostorne dijagonale $D$ i dijagonale osnove $d .$

Ovi elementi formiraju pravougli trougao čije su katete ivica kocke $a$ (naspramna kateta) i dijagonala osnove $d$ (nalegla kateta), dok je hipotenuza prostorna dijagonala $D .$

Računamo sinus ugla $\alpha$ kao odnos naspramne katete i hipotenuze:

\sin \alpha = \frac{a}{D} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Računamo kosinus ugla $\alpha$ kao odnos nalegle katete i hipotenuze:

\cos \alpha = \frac{d}{D} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Računamo tangens ugla $\alpha$ kao odnos naspramne i nalegle katete:

\text{tg} \alpha = \frac{a}{d} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Računamo kotangens ugla $\alpha$ kao odnos nalegle i naspramne katete:

\text{ctg} \alpha = \frac{d}{a} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}

Računamo sekans ugla $\alpha$ kao odnos hipotenuze i nalegle katete:

\sec \alpha = \frac{D}{d} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Računamo kosekans ugla $\alpha$ kao odnos hipotenuze i naspramne katete:

\text{cosec} \alpha = \frac{D}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}

881