4426. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Neka je hipotenuza $c = x$ i jedna kateta $a = \sqrt{x} .$ Primenom Pitagorine teoreme računamo drugu katetu $b :$

b^2 = c^2 - a^2

Zamenom datih vrednosti dobijamo:

b^2 = x^2 - (\sqrt{x})^2 = x^2 - x \implies b = \sqrt{x^2 - x}

Sada računamo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\alpha$ koji se nalazi naspram katete $a :$

\begin{aligned} \sin \alpha &= \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \cos \alpha &= \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{x^2 - x}}{x} = \frac{\sqrt{x(x-1)}}{x} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}} \\ \text{tg} \alpha &= \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2 - x}} = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \\ \text{ctg} \alpha &= \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x}} = \sqrt{x-1} \end{aligned}

Za ugao $\beta$ koji se nalazi naspram katete $b$ važi da je komplementaran uglu $\alpha$ ( $\beta = 90^\circ - \alpha$ ), pa su njegove trigonometrijske funkcije:

\begin{aligned} \sin \beta &= \cos \alpha = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}} \\ \cos \beta &= \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \text{tg} \beta &= \text{ctg} \alpha = \sqrt{x-1} \\ \text{ctg} \beta &= \text{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \end{aligned}

880