PrethodniSledeći
4448.

898

TEKST ZADATKA

Ako je sin⁡α=kn \sin \alpha = \frac{k}{n} i 0<k<n, 0 < k < n , odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α. \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od osnovnog trigonometrijskog identiteta:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Izražavamo cos⁡2α \cos^2 \alpha preko sin⁡α: \sin \alpha :

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost za sin⁡α: \sin \alpha :

cos⁡2α=1−(kn)2\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2

Kvadriramo razlomak i svodimo na zajednički imenilac:

cos⁡2α=1−k2n2=n2−k2n2\cos^2 \alpha = 1 - \frac{k^2}{n^2} = \frac{n^2 - k^2}{n^2}

S obzirom na to da je 0<k<n, 0 < k < n , sledi da je 0<sin⁡α<1. 0 < \sin \alpha < 1 . Podrazumevajući da je α \alpha oštar ugao, vrednost kosinusa mora biti pozitivna. Računamo cos⁡α: \cos \alpha :

cos⁡α=n2−k2n2=n2−k2n\cos \alpha = \sqrt{\frac{n^2 - k^2}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - k^2}}{n}

Dalje, računamo tangens ugla koristeći formulu tgα=sin⁡αcos⁡α: \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :

tgα=knn2−k2n\text{tg} \alpha = \frac{\frac{k}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 - k^2}}{n}}

Skraćivanjem imenioca dobijamo vrednost za tangens:

tgα=kn2−k2\text{tg} \alpha = \frac{k}{\sqrt{n^2 - k^2}}

Na kraju, računamo kotangens ugla koristeći vezu ctgα=1tgα: \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} :

ctgα=n2−k2k\text{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{n^2 - k^2}}{k}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak