4456. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Na osnovu osnovne trigonometrijske relacije, tangens i kotangens istog ugla su recipročne vrednosti:

\text{tg} \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} = \frac{1}{m}

Da bismo izračunali sinus ugla, polazimo od veze između kvadrata sinusa i kotangensa. Znamo da važi:

1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Iz prethodne jednakosti izražavamo $\sin^2 \alpha$ i zamenjujemo datu vrednost za $\text{ctg} \alpha :$

\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + m^2}

Pošto je $\alpha$ oštar ugao, njegov sinus je pozitivan, pa korenujemo dobijeni izraz:

\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}

Kosinus ugla računamo koristeći definiciju kotangensa $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ,$ odakle izražavamo kosinus:

\cos \alpha = \text{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha

Zamenom poznatih vrednosti dobijamo konačan izraz za kosinus:

\cos \alpha = m \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{m}{\sqrt{1 + m^2}}

896.g