PrethodniSledeći
4465.

890.b

TEKST ZADATKA

Dokaži tvrđenje: Ako su α,β \alpha, \beta i γ \gamma uglovi trougla onda je: cos⁡α+β2=sin⁡γ2. \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \sin \frac{\gamma}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180∘. 180^\circ .

α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Izrazimo zbir uglova α \alpha i β \beta preko ugla γ. \gamma .

α+β=180∘−γ\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma

Podelimo dobijenu jednakost sa 2. 2 .

α+β2=180∘−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2}

Pojednostavimo desnu stranu jednakosti.

α+β2=90∘−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}

Primenimo kosinus na obe strane jednakosti.

cos⁡α+β2=cos⁡(90∘−γ2)\cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \left( 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \right)

Na osnovu osobine trigonometrijskih funkcija komplementarnih uglova važi cos⁡(90∘−x)=sin⁡x. \cos(90^\circ - x) = \sin x . Primenom ove osobine dobijamo traženu jednakost.

cos⁡α+β2=sin⁡γ2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \sin \frac{\gamma}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu