4474. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ,$ možemo zapisati konstante $2$ i $4$ kao $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ i $4(\sin^2 x + \cos^2 x) .$ Zamenjujemo ovo u početni izraz:

A = \frac{\sin^2 x + \sin x \cos x + 2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{3\sin x \cos x + \cos^2 x - 4(\sin^2 x + \cos^2 x)}

Oslobađamo se zagrada i grupišemo slične članove u brojiocu i imeniocu:

\begin{aligned} A &= \frac{\sin^2 x + \sin x \cos x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x}{3\sin x \cos x + \cos^2 x - 4\sin^2 x - 4\cos^2 x} \\ A &= \frac{3\sin^2 x + \sin x \cos x + 2\cos^2 x}{-4\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 3\cos^2 x} \end{aligned}

Kako je $\text{tg}\, x = 3 ,$ zaključujemo da je $\cos x \neq 0 .$ Zato možemo podeliti i brojilac i imenilac sa $\cos^2 x :$

A = \frac{\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{-4\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x}}

Skraćujemo razlomke i koristimo definiciju tangensa $\text{tg}\, x = \frac{\sin x}{\cos x} :$

A = \frac{3\text{tg}^2 x + \text{tg}\, x + 2}{-4\text{tg}^2 x + 3\text{tg}\, x - 3}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg}\, x = 3$ u dobijeni izraz:

A = \frac{3 \cdot 3^2 + 3 + 2}{-4 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 - 3}

Računamo vrednost izraza u brojiocu i imeniocu:

\begin{aligned} A &= \frac{3 \cdot 9 + 5}{-4 \cdot 9 + 9 - 3} \\ A &= \frac{27 + 5}{-36 + 6} \\ A &= \frac{32}{-30} \end{aligned}

Skraćujemo razlomak sa $2$ i dobijamo konačan rezultat:

A = -\frac{16}{15}

904