PrethodniSledeći
4478.

903.b

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost izraza: sin⁡3x−2cos⁡3x+3cos⁡x3sin⁡x+2cos⁡x \frac{\sin^3 x - 2\cos^3 x + 3\cos x}{3\sin x + 2\cos x} ako je tg x=2. \text{tg}\, x = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo iskoristili datu vrednost za tg x, \text{tg}\, x , podelićemo i brojilac i imenilac datog izraza sa cos⁡3x. \cos^3 x .

sin⁡3x−2cos⁡3x+3cos⁡xcos⁡3x3sin⁡x+2cos⁡xcos⁡3x\frac{\frac{\sin^3 x - 2\cos^3 x + 3\cos x}{\cos^3 x}}{\frac{3\sin x + 2\cos x}{\cos^3 x}}

Sređujemo brojilac tako što svaki sabirak delimo sa cos⁡3x. \cos^3 x .

sin⁡3xcos⁡3x−2cos⁡3xcos⁡3x+3cos⁡xcos⁡3x=tg3x−2+3cos⁡2x\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} - \frac{2\cos^3 x}{\cos^3 x} + \frac{3\cos x}{\cos^3 x} = \text{tg}^3 x - 2 + \frac{3}{\cos^2 x}

Koristimo trigonometrijski identitet 1cos⁡2x=1+tg2x \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \text{tg}^2 x da izrazimo brojilac preko tangensa.

tg3x−2+3(1+tg2x)\text{tg}^3 x - 2 + 3(1 + \text{tg}^2 x)

Sređujemo imenilac tako što ga delimo sa cos⁡3x. \cos^3 x . Možemo ga zapisati kao proizvod dva faktora.

3sin⁡x+2cos⁡xcos⁡x⋅1cos⁡2x=(3tg x+2)(1+tg2x)\frac{3\sin x + 2\cos x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = (3\text{tg}\, x + 2)(1 + \text{tg}^2 x)

Zamenjujemo sređeni brojilac i imenilac u početni izraz.

tg3x−2+3(1+tg2x)(3tg x+2)(1+tg2x)\frac{\text{tg}^3 x - 2 + 3(1 + \text{tg}^2 x)}{(3\text{tg}\, x + 2)(1 + \text{tg}^2 x)}

Zamenjujemo datu vrednost tg x=2 \text{tg}\, x = 2 u dobijeni izraz.

23−2+3(1+22)(3⋅2+2)(1+22)\frac{2^3 - 2 + 3(1 + 2^2)}{(3 \cdot 2 + 2)(1 + 2^2)}

Računamo vrednost brojioca i imenioca.

8−2+3⋅5(6+2)⋅5=6+158⋅5\frac{8 - 2 + 3 \cdot 5}{(6 + 2) \cdot 5} = \frac{6 + 15}{8 \cdot 5}

Dobijamo konačnu vrednost izraza.

2140\frac{21}{40}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak