PrethodniSledeći
4475.

912

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz: 2−cosec2αtg α−1−cosec2α+1(tg α≠1) \frac{2 - \text{cosec}^2 \alpha}{\text{tg}\, \alpha - 1} - \text{cosec}^2 \alpha + 1 \quad (\text{tg}\, \alpha \neq 1)

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo izraz koristeći osnovne trigonometrijske funkcije sinus i kosinus. Znamo da je cosecα=1sin⁡α \text{cosec} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} i tgα=sin⁡αcos⁡α. \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

2−1sin⁡2αsin⁡αcos⁡α−1−1sin⁡2α+1\frac{2 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 1} - \frac{1}{\sin^2 \alpha} + 1

Svodimo izraze u brojiocu, imeniocu i van razlomka na zajednički imenilac.

2sin⁡2α−1sin⁡2αsin⁡α−cos⁡αcos⁡α+sin⁡2α−1sin⁡2α\frac{\frac{2\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}} + \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 da uprostimo izraze 2sin⁡2α−1 2\sin^2 \alpha - 1 i sin⁡2α−1. \sin^2 \alpha - 1 .

2sin⁡2α−1=2sin⁡2α−(sin⁡2α+cos⁡2α)=sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2α−1=−cos⁡2α\begin{aligned} 2\sin^2 \alpha - 1 &= 2\sin^2 \alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \\ \sin^2 \alpha - 1 &= -\cos^2 \alpha \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u glavni izraz.

sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2αsin⁡α−cos⁡αcos⁡α−cos⁡2αsin⁡2α\frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Primenjujemo razliku kvadrata u brojiocu prvog razlomka i rešavamo dvojni razlomak.

(sin⁡α−cos⁡α)(sin⁡α+cos⁡α)cos⁡αsin⁡2α(sin⁡α−cos⁡α)−cos⁡2αsin⁡2α\frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) \cos \alpha}{\sin^2 \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha)} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Kako je dato da je tg α≠1, \text{tg}\, \alpha \neq 1 , sledi da je sin⁡α≠cos⁡α, \sin \alpha \neq \cos \alpha , pa možemo skratiti sin⁡α−cos⁡α. \sin \alpha - \cos \alpha .

(sin⁡α+cos⁡α)cos⁡αsin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Množimo izraze u brojiocu prvog razlomka.

sin⁡αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2α\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Oduzimamo razlomke pošto imaju isti imenilac.

sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2α\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Sređujemo brojilac.

sin⁡αcos⁡αsin⁡2α\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo sin⁡α \sin \alpha i dobijamo konačan rezultat koristeći definiciju kotangensa ctgα=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

cos⁡αsin⁡α=ctgα\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak