PrethodniSledeći
4490.

911

TEKST ZADATKA

Kakav je trougao za čije oštre uglove važi jednakost sin⁡2α+sin⁡2β=1? \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1 ?

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od date jednakosti:

sin⁡2α+sin⁡2β=1\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1

Izražavamo sin⁡2β: \sin^2 \beta :

sin⁡2β=1−sin⁡2α\sin^2 \beta = 1 - \sin^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle je 1−sin⁡2α=cos⁡2α: 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha :

sin⁡2β=cos⁡2α\sin^2 \beta = \cos^2 \alpha

Pošto su α \alpha i β \beta oštri uglovi, njihove trigonometrijske funkcije su pozitivne, pa možemo korenovati obe strane:

sin⁡β=cos⁡α\sin \beta = \cos \alpha

Koristimo osobinu komplementarnih uglova cos⁡α=sin⁡(90∘−α): \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) :

sin⁡β=sin⁡(90∘−α)\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha)

Pošto su uglovi oštri, iz jednakosti sinusa sledi jednakost uglova:

β=90∘−α\beta = 90^\circ - \alpha

Prebacivanjem α \alpha na levu stranu dobijamo zbir oštrih uglova:

α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180∘: 180^\circ :

α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Zamenjujemo zbir α+β \alpha + \beta u jednačinu:

90∘+γ=180∘90^\circ + \gamma = 180^\circ

Računamo ugao γ: \gamma :

γ=90∘\gamma = 90^\circ

Pošto je jedan ugao prav, zaključujemo da je trougao pravougli.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak