PrethodniSledeći
4500.

913

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz: (1+sin⁡α)(tg α+ctg α)(1−sin⁡α). (1 + \sin \alpha)(\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)(1 - \sin \alpha) .

REŠENJE ZADATKA

Grupišemo prvi i treći činilac kako bismo primenili formulu za razliku kvadrata.

(1+sin⁡α)(1−sin⁡α)(tg α+ctg α)(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)(\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na prve dve zagrade.

(1−sin⁡2α)(tg α+ctg α)(1 - \sin^2 \alpha)(\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 da zamenimo 1−sin⁡2α 1 - \sin^2 \alpha sa cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α(tg α+ctg α)\cos^2 \alpha (\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)

Izražavamo tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći formule tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} i ctg α=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

cos⁡2α(sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α)\cos^2 \alpha \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)

Svodićemo razlomke u zagradi na zajednički imenilac.

cos⁡2α(sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α)\cos^2 \alpha \left( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \right)

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 u brojiocu razlomka.

cos⁡2α⋅1sin⁡αcos⁡α\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo cos⁡α \cos \alpha u brojiocu i imeniocu.

cos⁡αsin⁡α\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Zamenjujemo dobijeni razlomak odgovarajućom trigonometrijskom funkcijom.

ctg α\text{ctg } \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak