4476. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Koristeći osnovne trigonometrijske identitete, možemo izraziti $\sin^2 x$ i $\cos^2 x$ preko $\text{tg}\, x .$

\begin{aligned} \sin^2 x &= \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} \\ \cos^2 x &= \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x} \end{aligned}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg}\, x = 2$ u ove formule kako bismo izračunali $\sin^2 x$ i $\cos^2 x .$

\begin{aligned} \sin^2 x &= \frac{2^2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} \\ \cos^2 x &= \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} \end{aligned}

Sada računamo vrednost brojioca datog izraza.

\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

Zatim računamo vrednost imenioca datog izraza.

\sin^6 x - \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 - (\cos^2 x)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3 - \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{64}{125} - \frac{1}{125} = \frac{63}{125}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz i sređujemo dvojni razlomak.

\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin^6 x - \cos^6 x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{63}{125}} = \frac{3 \cdot 125}{5 \cdot 63}

Skraćivanjem razlomka dobijamo konačnu vrednost izraza.

\frac{3 \cdot 125}{5 \cdot 63} = \frac{3 \cdot 25}{63} = \frac{75}{63} = \frac{25}{21}

906.v