4477. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Zapisujemo izraz preko zbira kubova:

\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3

Primenjujemo formulu za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) :$

(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)

Kako je $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ,$ izraz se uprošćava:

1 \cdot (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x

Dopunjujemo do kvadrata binoma dodavanjem i oduzimanjem $2\sin^2 x \cos^2 x :$

(\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) - 3\sin^2 x \cos^2 x

Primenjujemo kvadrat binoma i osnovni trigonometrijski identitet:

(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Koristimo formule za izražavanje sinusa i kosinusa preko tangensa:

\sin^2 x = \left(\frac{\text{tg}\, x}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 x}}\right)^2 = \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x}

Zamenjujemo $\text{tg}\, x = 2$ u formulu za $\sin^2 x :$

\sin^2 x = \frac{2^2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}

Slično, računamo $\cos^2 x$ koristeći formulu:

\cos^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 x}}\right)^2 = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x}

Zamenjujemo $\text{tg}\, x = 2$ u formulu za $\cos^2 x :$

\cos^2 x = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u uprošćeni izraz $1 - 3\sin^2 x \cos^2 x :$

1 - 3 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}

Množimo razlomke:

1 - \frac{12}{25}

Oduzimamo razlomke i dobijamo konačan rezultat:

\frac{25}{25} - \frac{12}{25} = \frac{13}{25}

906.b