4485. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Na osnovu formula za vezu između trigonometrijskih funkcija, izražavamo sinus i kosinus preko tangensa.

\sin x = \frac{\text{tg} x}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 x}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 x}}

Kvadriranjem ovih jednakosti dobijamo izraze za $\sin^2 x$ i $\cos^2 x .$

\sin^2 x = \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x}, \quad \cos^2 x = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg} x = 2$ u dobijene izraze.

\sin^2 x = \frac{2^2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}, \quad \cos^2 x = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}

Zapisujemo traženi izraz preko kvadrata sinusa i kosinusa.

\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2

Zamenjujemo izračunate vrednosti za $\sin^2 x$ i $\cos^2 x .$

\sin^4 x + \cos^4 x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2

Kvadriramo razlomke.

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{16}{25} + \frac{1}{25}

Sabiramo dobijene vrednosti.

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{17}{25}

906.a