4479. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Da bismo izračunali vrednost izraza, možemo ga transformisati tako da zavisi samo od funkcije $\text{tg}\, x .$ Prvo ćemo iskoristiti osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ kako bismo zamenili konstante u izrazu.

A = \frac{3\sin^2 x + 2\cos^2 x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x - \sin x \cos x + 2(\sin^2 x + \cos^2 x)}

Sređujemo brojilac i imenilac oslobađanjem od zagrada i grupisanjem sličnih članova.

A = \frac{3\sin^2 x + 2\cos^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x - \sin x \cos x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x}

A = \frac{2\sin^2 x + \cos^2 x}{3\sin^2 x - \sin x \cos x + 2\cos^2 x}

Sada delimo i brojilac i imenilac sa $\cos^2 x$ (što je dozvoljeno jer iz $\text{tg}\, x = 1$ sledi da je $\cos x \neq 0$ ).

A = \frac{\frac{2\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{3\sin^2 x - \sin x \cos x + 2\cos^2 x}{\cos^2 x}}

Razdvajamo razlomke i koristimo definiciju tangensa $\text{tg}\, x = \frac{\sin x}{\cos x} .$

A = \frac{2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}}{3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}}

A = \frac{2\text{tg}^2 x + 1}{3\text{tg}^2 x - \text{tg}\, x + 2}

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg}\, x = 1$ u dobijeni izraz.

A = \frac{2(1)^2 + 1}{3(1)^2 - 1 + 2}

Računamo konačnu vrednost izraza.

A = \frac{2 + 1}{3 - 1 + 2} = \frac{3}{4}

905.b