4480. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Koristeći osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija, možemo izraziti sinus ugla preko tangensa:

\sin \alpha = \frac{\text{tg}\, \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}}

Zamenom date vrednosti za tangens, računamo vrednost sinusa:

\sin \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Slično, izražavamo kosinus ugla preko tangensa:

\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}}

Zamenom date vrednosti za tangens, računamo vrednost kosinusa:

\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

Sada možemo izračunati vrednost traženog izraza $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha :$

\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^3 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^3

Stepenovanjem i sabiranjem dobijamo konačan rezultat:

\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{5\sqrt{5}}{125} + \frac{8 \cdot 5\sqrt{5}}{125} = \frac{5\sqrt{5}}{125} + \frac{40\sqrt{5}}{125} = \frac{45\sqrt{5}}{125} = \frac{9\sqrt{5}}{25}

902