4482. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Izražavamo $\cos^2 \alpha :$

\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost za $\sin 22^\circ 30' :$

\cos^2 22^\circ 30' = 1 - \left( \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)^2

Kvadriramo izraz na desnoj strani:

\cos^2 22^\circ 30' = 1 - \frac{1}{4}(2 - \sqrt{2})

Svodimo na zajednički imenilac:

\cos^2 22^\circ 30' = \frac{4 - (2 - \sqrt{2})}{4}

Sređujemo brojilac:

\cos^2 22^\circ 30' = \frac{4 - 2 + \sqrt{2}}{4} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}

Pošto je ugao $22^\circ 30'$ oštar ugao (nalazi se u prvom kvadrantu), njegov kosinus je pozitivan. Korenujemo dobijeni izraz:

\cos 22^\circ 30' = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

Računamo koren i dobijamo konačno rešenje:

\cos 22^\circ 30' = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2}}

901