4481. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Koristimo osnovnu trigonometrijsku relaciju:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Primenjujemo relaciju na ugao od $15^\circ$ i izražavamo $\sin^2 15^\circ :$

\sin^2 15^\circ = 1 - \cos^2 15^\circ

Zamenjujemo poznatu vrednost za $\cos 15^\circ :$

\sin^2 15^\circ = 1 - \left( \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} \right)^2

Kvadriramo izraz na desnoj strani:

\sin^2 15^\circ = 1 - \frac{1}{4}(2 + \sqrt{3})

Svodimo na zajednički imenilac i uprošćavamo dobijeni izraz:

\sin^2 15^\circ = \frac{4 - (2 + \sqrt{3})}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}

Korenujemo jednačinu. Pošto je $15^\circ$ oštar ugao (nalazi se u prvom kvadrantu), njegov sinus je pozitivan ( $\sin 15^\circ > 0$ ), pa uzimamo pozitivnu vrednost korena:

\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

Sređujemo dobijeni izraz izvlačenjem imenioca ispred korena:

\sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}

900