4484. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od prve jednačine koja je data u zadatku:

\sin x + \cos x = s

Kvadriramo obe strane jednačine:

(\sin x + \cos x)^2 = s^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levu stranu jednačine:

\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = s^2

Grupisanjem sabiraka dobijamo:

(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = s^2

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ i uslov zadatka $\sin x \cos x = p :$

1 + 2p = s^2

Sada izražavamo $p$ iz dobijene jednačine prebacivanjem jedinice na desnu stranu:

2p = s^2 - 1

Deljenjem cele jednačine sa 2 dobijamo konačan izraz:

p = \frac{1}{2}(s^2 - 1)

Ovim je traženo tvrđenje dokazano.

909