4489. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

REŠENJE ZADATKA

Oslobađamo se zagrada u datom izrazu množenjem članova.

A = 3\cos^4 x - 2\cos^6 x - 2\sin^6 x + 3\sin^4 x

Grupišemo odgovarajuće članove kako bismo mogli da primenimo trigonometrijske identitete.

A = 3(\cos^4 x + \sin^4 x) - 2(\cos^6 x + \sin^6 x)

Transformišemo izraz $\cos^4 x + \sin^4 x$ dopunom do potpunog kvadrata, koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Transformišemo izraz $\cos^6 x + \sin^6 x$ koristeći formulu za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) .$

\cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ na prvu zagradu.

\cos^6 x + \sin^6 x = 1 \cdot (\cos^4 x + \sin^4 x - \cos^2 x \sin^2 x)

Zamenjujemo prethodno dobijeni izraz za $\cos^4 x + \sin^4 x$ u dobijenu jednačinu.

\cos^6 x + \sin^6 x = (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \cos^2 x \sin^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Zamenjujemo dobijene transformisane izraze u početni izraz za $A .$

A = 3(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - 2(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)

Oslobađamo se zagrada množenjem.

A = 3 - 6\sin^2 x \cos^2 x - 2 + 6\sin^2 x \cos^2 x

Skraćujemo suprotne članove i računamo konačnu vrednost.

A = 1

Kako je vrednost izraza konstantna, zaključujemo da ona ne zavisi od $x .$

910