4492. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Polazimo od leve strane identiteta. Svodićemo razlomke na zajednički imenilac, koji je jednak $(1 + \cos \alpha)\sin \alpha .$

\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha + (1 + \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Množimo odgovarajuće članove u brojiocu.

= \frac{\sin^2 \alpha + (1 + \cos \alpha)^2}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Kvadriramo binom $(1 + \cos \alpha)^2$ u brojiocu.

= \frac{\sin^2 \alpha + 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Grupišemo članove $\sin^2 \alpha$ i $\cos^2 \alpha$ kako bismo iskoristili osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .$

= \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 1 + 2\cos \alpha}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Zamenjujemo $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ sa $1 .$

= \frac{1 + 1 + 2\cos \alpha}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Sabiramo konstante u brojiocu.

= \frac{2 + 2\cos \alpha}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Izvlačimo zajednički činilac $2$ ispred zagrade u brojiocu.

= \frac{2(1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)\sin \alpha}

Skraćujemo razlomak sa $(1 + \cos \alpha) ,$ s obzirom da je izraz definisan.

= \frac{2}{\sin \alpha}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednačine, čime je identitet dokazan.

\frac{2}{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha}

918