PrethodniSledeći
4510.

917

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935): sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α(α≠0∘) \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\alpha \neq 0^\circ)

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

sin⁡α1−cos⁡α\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha}

Množimo brojilac i imenilac razlomka izrazom 1+cos⁡α: 1 + \cos \alpha :

sin⁡α⋅(1+cos⁡α)(1−cos⁡α)⋅(1+cos⁡α)\frac{\sin \alpha \cdot (1 + \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha)}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u imeniocu:

sin⁡α⋅(1+cos⁡α)1−cos⁡2α\frac{\sin \alpha \cdot (1 + \cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle sledi da je 1−cos⁡2α=sin⁡2α: 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha :

sin⁡α⋅(1+cos⁡α)sin⁡2α\frac{\sin \alpha \cdot (1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡α \sin \alpha (što je dozvoljeno jer je α≠0∘, \alpha \neq 0^\circ , pa je sin⁡α≠0 \sin \alpha \neq 0 ):

1+cos⁡αsin⁡α\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani, čime je identitet dokazan.

sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak