PrethodniSledeći
4509.

919

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935): 1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=tg α−ctg α. \frac{1 - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \text{tg } \alpha - \text{ctg } \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{1 - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 da bismo zamenili broj 1 1 u brojiocu:

sin⁡2α+cos⁡2α−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Sređujemo izraz u brojiocu oduzimanjem sličnih članova:

sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Razdvajamo razlomak na razliku dva razlomka sa istim imeniocem:

sin⁡2αsin⁡αcos⁡α−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo prvi razlomak sa sin⁡α \sin \alpha i drugi razlomak sa cos⁡α: \cos \alpha :

sin⁡αcos⁡α−cos⁡αsin⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Primenjujemo definicije za tangens i kotangens, tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} i ctg α=cos⁡αsin⁡α: \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} :

tg α−ctg α\text{tg } \alpha - \text{ctg } \alpha

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani, čime je identitet dokazan.

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=tg α−ctg α\frac{1 - 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \text{tg } \alpha - \text{ctg } \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak