PrethodniSledeći
4493.

926

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935): 1+ctg α1−ctg α=tg α+1tg α−1(α≠45∘). \frac{1 + \text{ctg } \alpha}{1 - \text{ctg } \alpha} = \frac{\text{tg } \alpha + 1}{\text{tg } \alpha - 1} \quad (\alpha \neq 45^\circ) .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

1+ctg α1−ctg α\frac{1 + \text{ctg } \alpha}{1 - \text{ctg } \alpha}

Koristimo osnovnu trigonometrijsku relaciju koja povezuje tangens i kotangens:

ctg α=1tg α\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}

Zamenjujemo ovu relaciju u početni izraz:

1+1tg α1−1tg α\frac{1 + \frac{1}{\text{tg } \alpha}}{1 - \frac{1}{\text{tg } \alpha}}

Svodićemo brojilac i imenilac na zajednički imenilac, što je tg α: \text{tg } \alpha :

tg α+1tg αtg α−1tg α\frac{\frac{\text{tg } \alpha + 1}{\text{tg } \alpha}}{\frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha}}

Sređujemo dvojni razlomak skraćivanjem imenioca tg α: \text{tg } \alpha :

tg α+1tg α−1\frac{\text{tg } \alpha + 1}{\text{tg } \alpha - 1}

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani, čime je identitet dokazan.

1+ctg α1−ctg α=tg α+1tg α−1\frac{1 + \text{ctg } \alpha}{1 - \text{ctg } \alpha} = \frac{\text{tg } \alpha + 1}{\text{tg } \alpha - 1}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak