PrethodniSledeći
4497.

925

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935): 1+sin⁡α+cos⁡α+tg α=(1+cos⁡α)(1+tg α). 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \text{tg } \alpha = (1 + \cos \alpha)(1 + \text{tg } \alpha) .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od desne strane jednakosti i transformišemo je kako bismo dobili levu stranu.

(1+cos⁡α)(1+tg α)(1 + \cos \alpha)(1 + \text{tg } \alpha)

Množimo svaki član prve zagrade sa svakim članom druge zagrade.

1⋅1+1⋅tg α+cos⁡α⋅1+cos⁡α⋅tg α1 \cdot 1 + 1 \cdot \text{tg } \alpha + \cos \alpha \cdot 1 + \cos \alpha \cdot \text{tg } \alpha

Sređujemo dobijeni izraz.

1+tg α+cos⁡α+cos⁡α⋅tg α1 + \text{tg } \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \text{tg } \alpha

Koristimo osnovnu trigonometrijsku relaciju tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} za poslednji sabirak.

1+tg α+cos⁡α+cos⁡α⋅sin⁡αcos⁡α1 + \text{tg } \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Skraćujemo cos⁡α \cos \alpha u poslednjem sabirku.

1+tg α+cos⁡α+sin⁡α1 + \text{tg } \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha

Preuređivanjem sabiraka dobijamo izraz koji se nalazi na levoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan.

1+sin⁡α+cos⁡α+tg α1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \text{tg } \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak