PrethodniSledeći
4503.

927

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935):

sin⁡2α−cos⁡2α+cos⁡4αcos⁡2α−sin⁡2α+sin⁡4α=tg4α\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha} = \text{tg}^4 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo levu stranu identiteta:

sin⁡2α−cos⁡2α+cos⁡4αcos⁡2α−sin⁡2α+sin⁡4α\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha}

U brojiocu grupišemo poslednja dva člana i izvučemo −cos⁡2α -\cos^2 \alpha ispred zagrade, a u imeniocu grupišemo poslednja dva člana i izvučemo −sin⁡2α -\sin^2 \alpha ispred zagrade:

sin⁡2α−cos⁡2α(1−cos⁡2α)cos⁡2α−sin⁡2α(1−sin⁡2α)\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}

Primenom osnovnog trigonometrijskog identiteta sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , zamenjujemo 1−cos⁡2α 1 - \cos^2 \alpha sa sin⁡2α \sin^2 \alpha i 1−sin⁡2α 1 - \sin^2 \alpha sa cos⁡2α: \cos^2 \alpha :

sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2αcos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}

Sada u brojiocu možemo izvući sin⁡2α \sin^2 \alpha kao zajednički faktor, a u imeniocu cos⁡2α: \cos^2 \alpha :

sin⁡2α(1−cos⁡2α)cos⁡2α(1−sin⁡2α)\frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet na izraze u zagradama i množimo dobijene faktore:

sin⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α⋅cos⁡2α=sin⁡4αcos⁡4α\frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha}

Na osnovu definicije tangensa tgα=sin⁡αcos⁡α, \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , izraz možemo zapisati kao:

tg4α\text{tg}^4 \alpha

Time smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak