4494. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Da bismo uprostili razlomke, koristićemo formule za zbir i razliku kubova, kao i razliku kvadrata:

\begin{aligned} a^3 + b^3 &= (a+b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 &= (a-b)(a^2 + ab + b^2) \\ a^4 - b^4 &= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \end{aligned}

Primenimo ove formule na brojioce u našem izrazu.

\frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} + \frac{(\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x - \cos x} + \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x - \cos^2 x}

Skratimo iste činioce u brojiocu i imeniocu svakog razlomka.

(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x + \cos^2 x)

Grupišimo članove i iskoristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

(\sin^2 x + \cos^2 x) - \sin x \cos x + (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin x \cos x + (\sin^2 x + \cos^2 x)

Zamenimo $\sin^2 x + \cos^2 x$ sa $1 .$

1 - \sin x \cos x + 1 + \sin x \cos x + 1

Saberimo dobijene vrednosti. Članovi $-\sin x \cos x$ i $\sin x \cos x$ se potiru.

3

916