PrethodniSledeći
4495.

929.a

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935):

sin⁡αcos⁡α−ctgα1−(sin⁡α+cos⁡α)2=12ctg2α\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{1}{2} \text{ctg}^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Posmatramo levu stranu jednakosti:

sin⁡αcos⁡α−ctgα1−(sin⁡α+cos⁡α)2\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}

Kvadriramo izraz u imeniocu koristeći formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :

sin⁡αcos⁡α−ctgα1−(sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 u imeniocu:

sin⁡αcos⁡α−ctgα1−(1+2sin⁡αcos⁡α)\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha)}

Uprošćavamo imenilac oslobađanjem od zagrade:

sin⁡αcos⁡α−ctgα1−1−2sin⁡αcos⁡α=sin⁡αcos⁡α−ctgα−2sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{1 - 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Zamenjujemo ctgα \text{ctg} \alpha sa cos⁡αsin⁡α \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} u brojiocu:

sin⁡αcos⁡α−cos⁡αsin⁡α−2sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Izvlačimo zajednički činilac cos⁡α \cos \alpha u brojiocu:

cos⁡α(sin⁡α−1sin⁡α)−2sin⁡αcos⁡α\frac{\cos \alpha \left(\sin \alpha - \frac{1}{\sin \alpha}\right)}{-2\sin \alpha \cos \alpha}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡α: \cos \alpha :

sin⁡α−1sin⁡α−2sin⁡α\frac{\sin \alpha - \frac{1}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha}

Svodimo izraz u brojiocu na zajednički imenilac:

sin⁡2α−1sin⁡α−2sin⁡α\frac{\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin \alpha}}{-2\sin \alpha}

Uprošćavamo dvojni razlomak:

sin⁡2α−1−2sin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha - 1}{-2\sin^2 \alpha}

Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta sledi da je sin⁡2α−1=−cos⁡2α. \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha . Zamenjujemo ovo u brojiocu:

−cos⁡2α−2sin⁡2α\frac{-\cos^2 \alpha}{-2\sin^2 \alpha}

Skraćujemo minuse i izdvajamo konstantu:

12⋅cos⁡2αsin⁡2α\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Kako je cos⁡αsin⁡α=ctgα, \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha , dobijamo konačan izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan:

12ctg2α\frac{1}{2} \text{ctg}^2 \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak