PrethodniSledeći
4504.

928

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju):

tg α+ctg βctg α+tg β=tg α⋅ctg β\frac{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta}{\text{ctg } \alpha + \text{tg } \beta} = \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

tg α+ctg βctg α+tg β\frac{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta}{\text{ctg } \alpha + \text{tg } \beta}

U imeniocu izražavamo ctg α \text{ctg } \alpha i tg β \text{tg } \beta preko njihovih recipročnih funkcija koristeći relaciju tg x⋅ctg x=1: \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1 :

tg α+ctg β1tg α+1ctg β\frac{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta}{\frac{1}{\text{tg } \alpha} + \frac{1}{\text{ctg } \beta}}

Svodimo razlomke u imeniocu na zajednički imenilac:

tg α+ctg βctg β+tg αtg α⋅ctg β\frac{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta}{\frac{\text{ctg } \beta + \text{tg } \alpha}{\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

(tg α+ctg β)⋅tg α⋅ctg βtg α+ctg β\frac{(\text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta) \cdot \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta}{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta}

Skraćujemo izraz tg α+ctg β \text{tg } \alpha + \text{ctg } \beta u brojiocu i imeniocu, čime dobijamo desnu stranu i dokazujemo identitet:

tg α⋅ctg β\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak